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一、小圆半径是大圆的1/2，当小圆在大圆内沿大圆滚动时，小圆的一条直径两...

我做了一下，本以为没有技术含量，但还是有技巧的，很漂亮的六瓣花！

假设小圆在大圆内逆时针旋转。

1、做一个圆心为A的大圆。

2、在大圆上做一个自由点P，连接AP，取中点M，以M为圆心，做过点P的圆，为小圆。

3、在大圆上取一点B为P运动基准点，做大圆上弧BP，度量弧度。

4、计算度量的弧度值的二倍负值，作为小圆上的点围绕点M自旋的角度。

5、在小圆上做一点C，标志中心M，旋转点C，旋转角度为4步骤标志的角度，得到点W。

6、做射线WM，交小圆为S点，则wS就是小圆一条直径的两个端点。

7、选中P和W，构造W的轨迹，再选中P和S，构造S的轨迹。

二、一个小圆形绕大圆形运动一周，需要滚动几圈?

3圈。

按照表述，大圆的周长是小圆的3倍，绕大圆一周，刚好需要3个小圆的周长，也即小圆要滚动3周。

小圆圆心绕大圆圆周滚动一周时，不象沿直线运动那样不改变运动方向，而是要随时调整运动方向，全部过程整好是附加转动一周。所谓附加转动，是指不包括完成指定路程长度仅仅是调整运动方向的转动。

小圆沿大圆外侧滚动时，自身转动方向与运动旋转方向相同，小圆要转动3+1=4周，而沿大圆内侧滚动时，小圆转动方向与运动转向相反，小圆要滚动3-1=2周。

扩展资料：

在同一个圆中直径的长度是半径的2倍，可以表示d=2r或r=d/2。

证明：设有直径AB，根据直径的定义，圆心O在AB上。∵AO=BO=r，∴AB=2r

并且，在同一个圆中弦长为半径2倍的弦都是直径。即若线段d=2r（r是半径长度），那么d是直径。

反证法：假设AB不是直径，那么过点O作直径AB'，根据上面的结论有AB'=2r=AB

∴∠ABB'=∠AB'B（等边对等角）

又∵AB'是直径，∴∠ABB'=90°（直径所对的圆周角是直角）

那么△ABB‘中就有两个直角，与内角和定理矛盾

∴假设不成立，AB是直径

参考资料来源：百度百科-直径

大圆与小圆的启示

思考加实证才是解决问题获得真知的良方

——大圆与小圆问题给我们的启示

吴国才安徽省桐城市孔城初中高级语文教师

一个好同事在安庆参加骨干教师培训时，听专家说了一个有意思且很奇怪的问题：

“大圆半径是小圆半径的3倍，小圆在大圆外面和里面绕大圆滚动一周各须滚动几圈？”

好同事说给我听时，我想：不就是比大小圆周长，而大小圆周长之比等于半径之比，所以不就是3倍关系，不就是3圈。我确定地说：“3圈”。她打趣地说：“可确定，改不改？”我又仔细想了一遍：小圆滚动时，圆上的点可以与大圆一一对应，不就是比周长？而周长之比与直径、半径之比都是一样的！所以我肯定的说：“3圈，确定，不改了！”

可是好同事说不对。我十分奇怪，那答案是几圈？她说：“专家说是4圈。”我气愤地说：“瞎扯！那专家说为什么是4圈呢?”她说：“专家大概以为我们教语文的老师大多听不懂，所以没仔细解释，我也没听清，我与崔鑫在下面用手机查了一下，也都没看懂！专家说：在一次众人参加的测试中，只有一个人说是4圈，而这个人成了全美所有学校都争抢的学生，全美所有名校任他选！”“那在里面小圆要滚动几圈到原来的点呢？”好同事又问我。我说：“那要看圈的厚度，圈越厚就越少。”她说：“与厚度无关，是两圈。”我说：“当然与厚度有关，怎么可能无关，若圈厚度忽略不计，实际上内外一样，都是3圈！至于看起来外4圈内2圈，可能是视觉的问题。就像我们透过玻璃瓶看插在水中的筷子折了一样，实际上它没有折，还是直的，这与光线折射有关。又如我们放眼望去，一切物体都是正的，实际上它是倒的，这与凸透镜成像原理和眼睛构造有关，我们看到的任何物体，都是它通过眼睛（眼睛就是凸透镜）成在视网膜上的像，物体在一倍焦距以外，成的都是倒立的实像（物体在1倍焦距以内才成正立的虚像），我们看到的一切物体基本上都是在一倍焦距以外成的倒立的实像，所以原本的样子应是再倒过来。”

那“专家”到底为什么说外4圈内2圈呢？我想听听聪明人的想法，于是找物理组和数学组老师，还有方根东校长讨论！

物理组状元父（他的孩子汪宗诚是桐城市2014年中考状元）汪正海老师说：“在大圆外滚动时，小圆自转3圈公转1圈（绕大圆圆心转了1圈），一共是4圈；在大圆内滚动时，自转方向与公转方向相反，所以是两圈；如果人跟着小圆一起滚动，那都是3圈，之所以看起来是外4圈内2圈，是因为我们站在地面上不动。”此言颇令我信服！

数学组说“化曲为直”：“圆（轮子）在直线上滚动时，圆心跑的路程等于圆滚动的周长之和。反过来通过计算圆心跑的路程可以推出在外小圆滚4圈，在内小圆滚2圈。因为在外时圆心距是3倍加小圆自身1倍半径，就是4倍半径，小圆圆心跑的路程是小圆4倍周长，所以是4圈；而在内时圆心距是2倍小圆半径，小圆圆心只跑2倍小圆周长，所以是2圈。”此推理似乎很有道理！

方根东校长（与我一样也是纯应届考桐城师范，17周岁师范毕业分配工作），想了想，又画了小圆绕大圆滚动的示意图，说：“就是比周长，应该是三圈。”我非常高兴！因为与我想法不谋而合。

我又查了百度，百度上许多人说3圈，但也有人说外4圈内2圈，用的是“化曲为折”法：就是把圆切出无数的边，变成多边形，让圆去滚动，在多边形外滚动时，多滚一周，是因为多滚了外角，而多边形外角和是360度，正好是一个圆周角；在多边形内滚动时，少滚了许多角，而这些角对应的圆心角正好是一个周角。似乎也有道理！

至此，我综合别人的观点，已形成了自己的观点：实际上就是比周长，内外都是3圈，至于专家说的内4圈外2圈，那是视觉问题。我准备把它写进我的《智慧题集》！

晚上闲而无事，我在家想滚滚看，试了多少次。结果：

每次都是内外差不多，都是3圈！根本没有外4圈内2圈的现象！至于内外略有不同，是因为圈有厚度，内外圈半径不完全一样，而大小圆周长之比等于半径之比。

我与孩子吴叶子、爱妻叶勤三人做了多次实验，结果都是与简单的道理一致：小园滚动的圈数等于大小园半径（周长）之比。我不仅用了大小不同的杯、缸、盆试滚，还用长短绳做成半径分别是2倍、3倍、4倍、5倍、6倍的大小圈试滚。结果都是一样的：小圆滚动的圈数就是大小圆半径（周长）之比。实际上也好理解：滚动时，大小圆上的点是一一对应的，小圆滚动的路程是小圆周长之和，也就是大圆周长。

至于汪正海说的“自转公转”、数学组说的“化曲为直”、还有网上查的“化曲为折”，似乎很有道理，但思路有断层，我知道他们错在哪儿了：大圆不动，小圆绕大圆滚动，这里没有大小圆一起绕中心的公转！圆心跑的路程等于圆滚动的路程的“化曲为直”法，在平面直线上是可以的，但这里是圆周运动是曲线运动，所以不行！致于网上的“化曲为折”在多边行中是可以的，因为多边形的外角和等于360度，就是一个圆周角，但在这里是圆对圆，点一一对应，根本不需要化曲为折，“化曲为折”在这里是画蛇添足，也是错的！

方根东校长那天说3圈，是对的。汪正海老师说实际上只要3圈，也是对的，不愧为“状元父”！

还好，我还有一点儿反复思考、实验求证的精神！不然我将它写进《智慧题集》，不仅贻笑大方，还以讹传讹，害了他人，甚至害了子孙后代！

说到这里，应该不会有人怀疑正确答案是3圈了吧！因为道理简单，试滚容易，另外我刚刚还看到了别人书上的正确答案：那是初中小学的一个作业题，“作业帮”里有答案，答案就是“3圈”，解析很简单：就是求大小圆周长之比，而大小圆周长之比通过圆周率公式一化简就是半径之比，最后得出3倍小圆周长等于大圆周长，所以小圆要滚动3圈。

至于专家所说的故事，不论真假，都不足为奇了！因为中国古代就有“指鹿为马”，外国现在有“是三说四”何足为奇！况且，据吴叶子和她同学外教所知：外国高中生数学水平相当于中国初中生，外国初中生数学水平只相当于中国小学生。我们的先贤祖冲之发现了圆周率，传到外国，外国的小学生、小孩，不一定人人都能弄懂！另外，我们都有“物以稀为贵”、“真理往往掌握在少数人手里”的观念，一个外国小孩说出与众不同的答案，被重视也属正常，不论他说的是对是错，反正与众不同，应当重视，况且又未验证，也不知道是对是错！他或许是瞎说，亦或许是故意说错，不论怎样，比千篇一律的正确答案都更能吸引别人的眼球。若故意说错，那是非常聪明的！他是用与众不同的错来吸引目光。中国三国时就有“曲有误，周郎顾”：一个非常聪明的歌女与众姐妹一起弹奏曲子给周瑜听，她为了让周瑜看她一眼，故意把曲子弹错，深谙乐曲的周瑜果然听出来是哪一个弹错了，并且看了看她。我们知道故意考0分的学生，他是非常厉害的，甚至超过考满分的学生！考满分的学生常见，故意考0分的学还真是少有！

我说这些并不是要说出我的思考与验证过程，而是想通过这件事说出我的一点启示，以飨读者：

我们崇拜专家，信奉权威，仰慕天才。但不能盲目！要有自己的思考与判断，要有一点查证求实的精神。遇到问题，可以先多问几个为什么，然后想方设法地去寻求正确答案，从而完满地解决问题。处理问题要考虑周全，尽心尽力，不能仅凭聪明，投机取巧，四处拼凑，正如方根东校长在一次全体教职工大会上所说：“处事不以聪明为先，应以尽心为急”。“实践是检验真理的唯一标准。”只有思考加实证，才是解决问题、获得真知的唯一良方。

2022年3月19日于望溪园

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