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能带结构图与态密度图分析方法是固体物理学中极为重要的工具，它们对于理解材料的电学、光学与热学性质至关重要。本文将对能带结构、态密度及相关的性质进行基础分析，以便于深入理解材料的物理特性。
能带结构图，如金属、半导体与绝缘体的能带结构图，体现了电子能级在能量与波矢空间中的分布。能带图的横坐标通常以模型对称性基础上的K点表示，这些点在倒格空间中对应着晶体的高对称位置。通过能带图，我们可以直观地看到能隙的存在，判断材料的导电性以及材料中的电子跃迁可能性。
态密度图则反映了单位频率间隔内的状态数（振动模式数目）。对于一维情形，波矢空间单位长度上的模式数为L/2π，当L较大时，点被视为准连续的。通过态密度定义与色散关系，我们可以计算出不同能量范围内的模式数。态密度图对于理解能量分布至关重要，它决定着体系的状态或材料的性能。
色散图与态密度图的分析依赖于固体物理的基本理论，如量子力学与统计力学。色散关系的导出通常基于简谐振动的简化与微分方程求解。在三维晶体中，一维的结论可以扩展至三维声子谱与态密度。态密度图提供了能量分布的信息，通过统计力学的配分函数，可以进一步推导出体系的熵和自由能，从而确定体系的状态。
声子谱研究了晶体振动模式的性质，特别是面外的横波光学声子模式在布里渊区中心区域的软化预示着强非简谐性。三维声子谱则展示了更全面的振动模式分布情况。
在理解态密度与能带结构时，电荷密度图同样不可或缺。电荷密度图反映了电子在空间中的分布情况，通过分析电荷的聚集与损失，可以判断原子间的成键情况。差分电荷密度图与二次差分图等衍生形式进一步揭示了电荷分布的细节。自旋极化的分析通过绘制自旋向上与自旋向下的态密度图，揭示了材料的磁性性质。
英语缩写“SD”通常被解释为“SpinDown”，中文直译为“自旋下降”。这个术语在计算机硬件领域中广泛使用，表示电子在特定轨道上的运动状态，可以是自旋向上或自旋向下。其中文拼音为“zìxuànxiàjiàng”，在英语中的流行度为119。
“SD”代表的是“SpinDown”这一概念，它涉及到电子在原子中的排列，每个轨道上只能容纳两个电子，一个自旋向上，一个自旋向下。当电子自旋方向不同，如沿轴向旋转，我们就将其标记为“spinup”或“spindown”。然而，这也带来了一个问题，即硬盘在某些情况下不会自动停止旋转，这可能影响其性能。
电子的自旋状态在磁性环境下尤为重要，例如，自旋向上的电子与自旋向下的电子的隧穿系数不同。这个科学原理在电子设备设计和磁性材料研究中扮演着关键角色。
黑洞
花落花开莫问期，人间念想若依稀。
曾经勉力追香露，深处清馨未好奇。
1.引子
相变与临界现象是自然界的普遍现象，深刻地篆刻于我们的日常生活之中，并为我们所用。当然，这绝不是说我们对相变的理解就到了完备的地步。比如水结冰这种“最简单常见”的行为，现在仍然可以从NS这样的刊物中读到令人称奇的新结果、新发现。因此，相变与临界现象是所有物质科学所共同关注的问题，好像没有之一。当然，她也是凝聚态物理学领域中令人着迷、老而弥坚的领域。1980年代我们很多读者是读着郝柏林和于渌先生编写的那本小册子长大的，所以相变与临界现象在我们心目中一直是高大上的象征与标记之一。
简而言之，在外部参数(如温度、压力、磁场等)连续变化之下，物质从一种物态(相)转变为另一种物态的过程称为相变。从冰融化成水、磁铁的铁磁性消失，到金属在低温下出现超导电性，甚至宇宙的形成都是一种相变。这些相变尽管表现繁杂，但却存在着共性。例如，一定温度下由热涨落驱动的相变，我们称之为热力学相变。再例如，磁铁在居里温度之上磁矩(或者叫自旋)可以自由转动、方向杂乱无章，而在居里温度之下磁矩将沿着一定方向有序排布从而在宏观上表现出铁磁性(图1)。这里，热运动导致的自旋涨落使自旋趋向无序化，相互作用导致自旋有序化，相互作用与热运动之间的竞争是这类相变的本质。
图1.(a)铁磁体的传统相变。热涨落促使自旋随机取向，有序态下的净磁矩随温度升高而降低，在临界温度Tc处消失，形成一个较窄的临界区域。(b)量子相变的普适相图。在绝对零度下，量子涨落受其它非温度参量影响，最终在gc处形成临界区域(MartinKlanj?ek，Physics7，74(2014))。
当然，物理学家为了研究相互作用，就想办法去压制热涨落。当温度降低到很低很低(mKorμK)时，热涨落的能量尺度几乎可以忽略。这时候系统应该是相互作用独大，相变早就被超越，一个纯粹的有序基态就伸手可及了。不过，物理的魅力和悲哀就在于：在所有自然科学中，只有物理是最接近理想主义的学科，虽然追求理想一向是风险很高、代价巨大。而“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”，就是追求理想主义的结果。毕竟，她还是在灯火阑珊处，您依然够不着她！
事实上，这种理想追求在一百年前就被证明是痴人说梦。因为，随着温度降低，系统还会遭遇另外一种竞争：热涨落减弱，取而代之量子涨落逐渐增强。
2.量子相图的黑洞
量子涨落是一种零点运动(zero-pointmotion)。根据Heisenberg不确定(测不准)原理，粒子的位置越精确，其速度(动量)不确定性越大。因此，即使是在绝对零度，热运动完全沉寂，而粒子仍然处于持续运动的状态。此时如果改变磁场或压强等非温度变量时，系统基态也会借助量子涨落这一途径相应地发生改变。注意，这里牵涉到一个重要的物理认知：热力学上系统终归走向低能，但能不能走得动需要有个“动力”。在世界处于热寂静之时，量子涨落粉墨登场来提供这一“动力”了。只要我们能够适当调控这一“动力”，相变和临界现象当再度浮现。
由此，不难理解，在绝对零度下，通过改变这些非温度参量来调控量子涨落，也会使材料发生相变，这种相变被称之为量子相变。分隔开两个不同量子基态的点称之为量子临界点。同样以磁性材料为例，如图2所示，自旋之间的相互作用导致反铁磁有序，而磁场或压强等序参量的改变将导致量子自旋涨落，来破坏反铁磁长程有序。这样一来，自旋相互作用与量子自旋涨落之间的竞争就成了量子相变的本质。
图2.典型的量子临界相图，其中D为量子临界点，A和N各为某种有序态。这里，量子临界点D处就像环宇中的黑洞(P.ColemanandA.J.Schofield，Nature433，226(2005))。
由于绝对零度无法实现，量子临界点也不可能真正达到。但是往往量子相变会在有限温度早早地显露痕迹：从量子临界点向有限温度下的扩展，就产生了量子临界区域。量子临界点的存在修正了相图的形状，产生了一个“V”型量子临界区域(图2)。如同宇宙中的黑洞弯曲了周围时空，量子临界点弯曲了相图的结构。类似于宇宙论认为黑洞是时空中的一个奇异点，量子临界点也往往被比作相图上的黑洞。
3.阻挫黑洞
虽然零点运动可存在于任何材料中，但不是所有材料都会发生量子相变。实际上可以发生量子相变的材料体系并不多见。低维、小自旋(S=1/2)磁阻挫材料是探寻量子相变和量子临界行为的阵地。阻挫是指体系中竞争的相互作用不能同时得到满足的现象。例如，对方格子反铁磁材料，每个自旋都可以和相邻的自旋呈反平行排列，见图3a。而在三角反铁磁晶格中(图3b)，第三个自旋无论向上还是向下，都会与某一个自旋平行，两两之间的反铁磁排布无法同时得到满足。阻挫效应的存在抑制了宏观磁有序态的出现，体系表现出强烈的自旋涨落，并展现出丰富的磁性质和量子相变行为，如自旋玻璃、自旋冰、自旋液体等。此外，根据Heisenberg不确定原理，低维和小自旋体系将感受到更强的量子自旋涨落，这就是为什么量子相变和量子临界行为的研究主要集中于低维，小自旋(S=1/2)自旋阻挫体系中的主要原因。三维、大自旋的磁性材料中的量子相变和量子临界行为极为罕见，也因此显得更为珍贵与有启发意义。
图3.(a)方格子反铁磁体没有阻挫效应，每个自旋都可以和相邻的自旋呈反平行排列。(b)在三角晶格中，三个自旋无法同时满足反平行排列，因此是阻挫的(R.MoessnerandA.P.Ramirez，Phys.Today59，24(2006))。
最近，中科院强磁场中心与中国科学技术大学、复旦大学、美国田纳西大学等组成的联合团队，对典型的三维大自旋(S=3/2)磁阻挫尖晶石材料ZnCr2Se4在极低温和强磁场下的相图进行了细致的研究(见图4)。他们揭示出在磁场下螺旋自旋序和完全极化态之间存在着一个量子临界区域。实验确定该新相存在于临界磁场HC2和HC3之间，HC2随着温度降低逐渐向高场移动，而HC3逐渐向低场移动，并最终重合在一个量子临界点处。这一行为表明绝对零度下螺旋自旋序到完全极化态之间的转变为量子相变，而在HC2和HC3之间存在的未知新相为磁场诱导的量子临界区域(如图4所示)。
有意思的是，该量子临界区域具有不寻常的临界模式，不能被简单的Ising或者Gaussian临界模型所解释。在量子临界点附近(6.5T)，比热在极低温下符和T2的指数关系，同时热输运上显示出平均自由程不随温度变化。该工作展示了一个三维大自旋磁性材料中量子相变和量子临界行为，为探索新奇量子相变行为提供了有用的思路。
该工作以“Field-DrivenQuantumCriticalityintheSpinelMagnetZnCr2Se4”为题发表于《物理评论快报》[PRL120，147204(2018)]上。这是一个很特别却又具有一定普适意义的实例，说明对一个“经典”大自旋阻挫体系，依然可以实现量子临界行为。看君有意，可点击本文底部的“阅读原文”，御览详细的数据与讨论。
图4.ZnCr2Se4体系的温度-磁场相图。QCP代表量子临界点，粉色区域为量子临界区域。备注：封面图片来自于
https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.4.041027
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