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一、在什么情况下使用数学期望?

答案选A。

这实际上并不用动笔，先搞明白显著性水平：估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率为显著性水平，用α表示，1-α为置信度或置信水平，其表明了区间估计的可靠性。

所以通俗的讲就是你进行试验时犯错误的概率，显然显著性水平的值越小，即检验的置信度越大，既然在较小的置信度（显著性水平0.05）时就接受，那么在较大的置信度（显著性水平0.01）时也必然接受，所以答案A正确。

数学期望简介：

概率论和统计学中是指试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

二、概率论中均匀分布的数学期望和方差该怎么求啊?

均匀分布的期望值和方差计算公式如下：

数学期望：对于均匀分布，假设其在区间[a，b]，则数学期望E=/2。

方差：方差D=^2/12。这里的a和b是均匀分布的上限和下限。

详细解释：

均匀分布是一种概率分布，其中每个可能值都有相等的机会出现。对于连续型随机变量，如果在区间[a，b]上是均匀分布的，则其概率密度函数是一个常数。在均匀分布的情境下，求数学期望和方差是概率论中的基础问题。

数学期望的计算：数学期望是随机变量所有可能取值的加权平均，其中每个值乘以其对应的概率。在均匀分布中，由于所有值出现的概率是相同的，因此可以通过计算区间的中点来估计期望。具体来说，就是把区间的下限a和上限b相加后除以2，得到的结果就是数学期望。公式表示为E=/2。

方差的计算：方差是衡量随机变量与其数学期望之间差异的量。对于均匀分布，其方差是通过特定的公式计算得出的。这个公式考虑了所有可能值与均值之间的差的平方的平均值。对于均匀分布，其方差D=^2/12，其中b和a分别是分布的上下限。这个公式反映了均匀分布的特性，并帮助我们快速计算出方差。

通过上述公式，我们可以方便地求出均匀分布的数学期望和方差，这对于进一步的分析和决策非常有帮助。

区间估计算法在不确定性最优控制问题中应用

2024-02-04 10:22·星派仿真最优控制广泛应用于机械工程、化学工艺、天体动力学、经济学、环境控制等领域。最优控制过程不可避免受到来自于数据、模型、分析方法等不确定性的影响。

研究人员提出了很多算法处理含不确定性的最优控制问题。最为广泛的是使用闭环反馈策略，将反馈信息即时转换为控制输入，继续作用于控制过程消除不确定性影响。例如鲁棒性反馈控制将问题转换为可以直接求解的确定性最优控制过程进行求解。尽管反馈控制在消除控制过程中不确定性的问题上发挥重要作用，但是开环最优控制在某些非紧急的预先设计中仍然有着重要作用，如飞行器轨迹设计、预先安全系数评估、航天器携带能源预估等。Zazzera在其报告对大气的研究给出最优控制求解过程需要考虑不确定性因素的影响。在最优控制理论广泛使用的天体动力学领域，避免飞行器碰撞、对推进器动力进行估计等课题任务也需要在开环最优控制中考虑不确定性。

最优控制不确定性影响估计的研究中，重点都是以概率理论为基础。而且最优控制涉及的工程领域中，如大气层影响、风、引力、太阳辐射等的影响大都属于认知误差，使用概率的方法有时会造成很大偏差。已有用于不确定最优控制估响应计的非概率方法很少，鲜见的研究如Ishizaki设计区间算法，求解参数二次规划的区间不确定性最优控制问题。为了研究认知不确定性对最优控制问题控制输入和状态变量的影响，需要引入通用的非概率方法。因此，本章将使用区间理论描述含非概率不确定性参数的最优控制问题，并使用区间算法进行求解，估计最优控制的控制和状态变量边界。

不确定性最优控制问题的区间模型最优控制问题是在可控动力学问题中，通过调整控制输入，使其某种性能(位移、能量、时间)等指标最大化或者最小化。用状态空间描述，可控动力学系统可以表示为：

目标是找到控制输入u(t)最小化性能指标：

其中，t表示时间，x是状态变量，u是控制输入，J是指标函数，表示状态变量关于时间的导数。本文中使用和分别表示当性能指标达到最小的时间段的控制输入和状态变量变化。另外，本文只针对固定终值的最优控制问题进行讨论，其它类型最优控制问题原理相同。

考虑最优控制问题中包含不确定性参数，参数的概率分布未知，且参数的区间边界已知。然后，根据非线性方程(1)，包含不确定性参数的控制方程可以表示为：

且目标与(2)相同，是找到控制变量u(t)最小化性能指标

这里的通过系统方程(3)的状态变量x下、和控制输入u与不确定参数间接相关。方程(3)的不确定性参数可以是系统参数不确定性，也可以是状态变量初值、终值的不确定性等。

本章中方程(3)和(4)中的不确定性最优控制建模与最常用的随机最优控制有着本质的区别。第一，控制方程(3)的不确定参数的引入没有基于任何的概率分布假设。在随机最优控制中，其控制系统可以表示为与高斯白噪声特性随机变量v(t)相关的系统：

第二，本文中性能指标(4)与随机最优控制中的性能指标不同。随机最优控制中的性能指标是(2)中性能指标的期望：

在随机最优控制中，所有的不确定性，例如测量误差、控制误差等都是通过其期望引入系统方程。而许多诸如模型未知、理论不完整的不确定性通过概率函数描述显然是不合理的。另外在很多情况下，不确定参数的边界往往比起概率分布更容易获得。所以，建立不确定最优控制的区间不确定模型是非常有价值的。

为了简化表示，使用表示确定性最优控制问题的输出，使用表示确定性最优控制(1)和(4)的解，不确定性最优控制(3)和(4)的输出可以用(2.2)的区间向量表示。在此区间向量表示中，上边界和下边界定义如下：

其中，x=1，2，...，z是向量z的分量。需要注意的是是给定时间输出的分量，其形式是标量；同时，这里的(或)不是实际意义的z(t)，只是代表每个时刻每个分量各自下界(或上界)的组合。

显然，直接使用(3)和(4)中关系表示的从到的区间扩张是无法直接使用区间分析的。同样将此关系视作“黑箱子”，用连续函数f(t)表示为：

然后可以建立该不确定最优控制问题的区间扩张为：

在区间扩张(10)上使用近似模型区间算法，即可以获得最优控制响应输出的区间。

基于区间算法的不确定性最优控制问题求解估计不确定性最优控制问题输入和状态区间包络的步骤如下：

a)初始化不确定性问题的区间参数。

b)执行一次给定的确定性最优控制问题求解，评估计算需要的资源。

c)确定Chebyshev张量积算法中Chebyshev多项式计算阶数。

d)计算Chebyshev零点，使用零点的张量积组合出Mehler积分的积分点(即样本点)。

e)对每个样本点对应的确定性最优控制问题进行求解。求解结果为系统状态变量和控制输入的时域响应。

f)使用获得的响应，对每个时刻的每个响应构建Chebyshev序列近似模型。

g)利用余弦函数周期性及有界性，将Chebyshev近似表示为区间扩张函数，方便执行区间分析。

h)利用区间分析获得各个响应变量每个时刻的输出区间。

图1求解不确定性最优控制问题算法流程

为方便理解计算步骤，给出算法流程如图1所示。流程中左边部分为不确定性算法特有的部分，不同的算法(如SRC和SRL)需要更换左边流程内容即可。为了验证本节提策略的有效性，以下章节给出两个数值算例。为了比较状态变量和控制输入的区间估计精度，区间算法同样将和扫描法进行对比。定义变量的边界保守估计为：

卫星编队飞行中的应用

图2太阳-地球系统和Halo轨道卫星编队CR3BP问题示意图

卫星编队是在围绕太阳和地球平动点的Halo轨道完成，其中卫星与太阳和地球构成典型的圆型限制性三体问题(CR3BP)如图2所示。在CR3BP模型中，卫星飞行过程受到两个天体(本文中太阳和地球)引力的影响。模型中，由于卫星质量远远小于天体质量，假设天体运动不受卫星的影响。另外，假设太阳和地球在环形轨道上运动，且轨道中心在日地系统的质心。定义旋转坐标系如图2(a)，坐标系原点O位于日地系统质心，X轴由质心指向地球，Z轴方法与系统角动量方向相同，Y轴通过右手法则定义。通过坐标转移可以将定义的坐标系转移到L2平动点。该系统具有强非线性特点。

图3确定性边界条件下编队航天器重构示意图

确定性情况下卫星编队重构过程如图3所示，确定性问题中轨迹不发生交会。

图4考虑不确定性边界情况编队航天器重构示意图

考虑不确定性卫星编队重构过程中，保证所设计轨迹下卫星飞行安全是重要的研究课题。相关的研究表明编队飞行实际中会存在不可忽略偏差并影响最优控制问题求解。不确定性影响下，轨迹偏移可能造成不同卫星实际飞行过程中发生碰撞。如图4所示，两个卫星相同时刻可能的轨迹区域有重叠，意味着这个区域有可能发生碰撞。

本小节选用30个卫星的编队重构来验证所提出区间建模求解的可行性。卫星所在相对Halo轨道参数如表1所示(长度单位为km，速度单位为km/s)。卫星的初始参数如表2所示。卫星编队重构如图5所示，卫星初始位置位于400m×500m矩形区域，重构后位置是半径为1000m圆环上。卫星的初始和终止相对速度为0。考虑初始的位置状态为区间不确定参数，且不确定性区间为。

算法参数设置中，CTP区间算法计算阶数为，截断阶数为ｄ＝５。CTP方法的区间结果和扫描法进行对比，扫描法中每个变量区间均匀地取M=15个值。需要注意的是，编队重构一次求解过程中需要求解30次最优控制，故CTP方法需要次确定性最优控制求解，而扫描法需要＝１０１２５０次。

CTP区间算法获得的卫星重构轨迹结果如图5所示，可以看到不确定影响下卫星运动轨迹的边界包络。

　　通过对两两卫星区间结果的检查发现，不同卫星轨迹所在的区间形成的包络区域之间有交叉和重叠部分，这也意味着可能发生碰撞。表3给出了有区间交叉和重叠的卫星编号及发生交叉的时间。结果表明可能发生碰撞的卫星编号有：#2和#26、#3和#25、#3和#25、#9和#22、#13和#21。四组可能发生碰撞的情况如图6所示，图中箭头表示卫星运动方向，每个立方体代表不确定影响下卫星在该时刻可能的位置。另外，红色立方体给出了卫星轨迹所属区域重叠的部分。其中，#2和#26号卫星是在相反的方向运动过程中可能发生碰撞，其它可能发生碰撞的情况是在相同的方向。

算例显示，不确定边界条件对卫星编队重构安全起到了重要的影响。不确定性卫星编队飞行及重构过程中的边界确定方法对航天工程有着重要的意义。

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