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一、拉格朗日求极限注意事项
这里用的是导数的定义，不是拉格朗日中值定理，虽然有点象，但其本质是不一样的。当然，拉格拉日中值定理只要原函数在开区间内可导，在闭区间内连续就可以了，没有要求导函数一定要连续。
在使用任何数学定理/定律去解问题时，都必须先要考察判定所要求解的对象是否符合定律/定律适用的条件。例如，用拉氏中值定理时就必须先考察所求对象的在所定义的区间内是否连续（没有间断点）和是否有界（可以形成闭区间）。
N的相应性
一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
二、极限篇(一)拉格朗日中值定理在求极限中的应用
拉格朗日中值定理在求极限中的应用主要体现在通过定理将复杂的极限表达式转化为更易处理的形式。以下是具体的应用方法和步骤：
识别极限形式：
- 当遇到形如$lim_{{xtoa}}frac{ff}{xa}$的极限时，可以考虑使用拉格朗日中值定理。
应用拉格朗日中值定理：
- 若函数$f$在闭区间$[a，b]$上连续，在开区间$$内可导，则存在至少一点$cin$，使得$f’?=frac{ff}{ba}$。
- 在求极限时，可以将区间$[a，x]$应用于定理，得到$f’=frac{ff}{xa}$，其中$xi$是$$内的一点。
转化极限：
- 通过拉格朗日中值定理，原极限可以转化为关于$f’$的极限，即$lim{{xtoa}}frac{ff}{xa}=lim{{xitoa}}f’$。
求解极限：
- 根据$f’$的表达式，求解转化后的极限。这通常比直接求解原极限要简单得多。
注意事项：
- 在应用拉格朗日中值定理时，需要确保函数在相关区间上满足连续和可导的条件。
- 转化后的极限可能需要利用其他极限求解技巧或定理进行进一步求解。
通过以上步骤，拉格朗日中值定理可以有效地帮助求解某些类型的极限问题。
拉格朗日中值定理还可以这么用！我不说你能想得到吗？
原创2022-08-14 08:42·老黄文体是一家
有时候会觉得高等数学的题目比高考的数学题还要简单。那是因为高等数学有更多定理和知识做支持，而且一般的题目，这些定理和知识运用得还都是比较机械的。如果你也有这种感觉的话，那就一定要好好学一学这道运用拉格朗日中值定理的题目了，它可能会刷新你对拉格朗日中值定理的认知。证明：若x>0，则(1)√(x+1)-√x=1/(2√(x+θ(x)))，其中1/4<θ(x)<1/2；(2)lim(x→0^+)θ(x)=1/4，(lim)(x→+∞)θ(x)=1/2.分析：高数问题构造辅助函数是最常用的方法之一。这道题构造的辅助函数相当简单，就构造f(x)=√x，并求它的导数，得到f'(x)=/(√).当x大于0时，函数在任意闭区间[x，x+1]上，都是符合拉格朗日中值定理的。因此，√(+)?√=/(√(+()))，0<θ(x)<1.也就是两个函数的函数差比自变量差，会等于对应开区间上的一个点的导数值，这里自变量差刚好等于1。而这个点可以用x+θ(x)来表示。根据拉格朗日中值定理，这里的θ是在(0，1)上的。到这里肯定有不少人就会犯迷糊了。式子倒是证明出来了，但条件不对啊。题目中θ(x)的值域明明是在(1/4，1/2)上的啊。那应该怎么办呢？其实很简单，而且直接，就是证明1/4<θ(x)<1/2，就可以了嘛。由上式得到另一个等式：√(+())=√(+)+√，就是两边都取倒数，原式左边分子分母同乘以√(+)+√，进行分母有理化，就变成这个式子右边的形式了。再两边同时平方，移项，化简，可以得到θ(x)的一个表达式：θ(x)=1/4+(√(x(x+1))-x)/2。所以拉格朗日中值定理中的θ，在可变区间上，其实是一个函数，而不是一个常数。这个函数在区间大小一定时，会随着区间左端点的变化而变化。也可以随着右端点的变化而变化。从这个函数的解析式就可以发现，θ(x)的值域大于1/4了。将θ(x)的解析式中的分式，分子分母同乘以√((+))+，化为：θ(x)=/+/((√((+))+)).可以发现，后面的分式一定小于四分之一，所以θ(x)小于二分之一。关于上下界的确定，请自行理解，很容易的。这就证明了1/4<θ(x)<1/2，从而得证。下面我们来看一看θ(x)的图像。这个图像一开始吓了老黄一跳。中间怎么空了一块，原来是因为函数在(-1，0)上没有定义。注意，这是函数本身的存在域，就这道题来说，它的定义域是在正区间的。不论是存在域，还是定义域，第一个极限都只能求右极限。代入x=0，就求得极限等于四分之一。而求x趋于正无穷大的极限，最好把函数的形式化为根式在分母的情形。因为这样才能直接得到极限等于二分之一。这是因为分子分母的最高次项相同，都是1次项，分子的一次项系数是1，分母的1次项系数是4，当x趋于无穷大时，根分式的极限就是四分之一，加上前面的四分之一，就等于二分之一。通过这道题，我们可以知道，拉格朗日中值定理公式中的θ，不仅仅可以确定在(0，1)上，而且有可能确定在一个更小的区间上的。怎么样？这道题能让你对拉格朗日中值定理有一个新的认识吗？【WINDRISES MINIPROGRAM PROMOTION】尊享直接对接老板
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