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一、压缩映像原理数列极限
如下：
压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决递推数学列极限中的优越性。
压缩映射原理是著名的波兰数学家StefanBanach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛。
如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用，在前人的基础上，笔者结合自己的教学体会，系统归纳总结了压缩映射原理在一类递推数列极限中的应用进一步展示其优越性。
1.基本概念和定理
为了结构的完整和叙述的方便，我们给出文献中的几个概念和定理。
定义1.1设(X，ρ)为一个度量空间，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得，坌x，y?X，有ρ(Tx，Ty)?αρ(x，y)，则称T是X到X的一个压缩映射。
定理1.2(压缩映射原理)设(X，ρ)为一个完备的距离空间，T是X到X的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点，即存在唯一的x?X，使得Tx=x。
二、压缩映照原理
压缩映照原理指完备的距离空间上到自身的压缩映射，存在唯一的不动点。
压缩映像原理数列极限：
当将一个映像信号压缩到它的最多极限时，在质量上所能达到的最优数列极限，也就是信号最大可以压缩到什么程度。极限取决于映像文件压缩算法和所使用的编码器，一般而言，极限可能是像素数量上限或者最大压缩比率，也可能是质量上限。
压缩映射原理的基本理论：
1、（完备度量空间）若度量空间中每个柯西点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。
2、（压缩映射）设是度量空间，是上的自映射。若存在数，使得，均有，则称是上的一个压缩映射。
3、（不动点）给定度量空间，是上的自映射，如果存在，使得，则称为映射的一个不动点。
压缩映照含义：
直线上介于固定的两点间的所有点的集合（包含给定的两点）。闭区间是直线上的连通的闭集。由于它是有界闭集，所以它是紧致的。闭区间的函数为小于等于的关系，即-∞≤a≤+∞，在数轴上为实心点。闭区间的余集是两个开区间的并集。实数理论中有著名的闭区间套定理。
代表符号：[x，y]，即从x值开始到y值，包含x、y。比如：x的取值范围是3到5的闭区间，那么用数学语言表示即为[3，5]，也就是从3（含）到5（含）之间的数。
压缩映射不动点定理：
定理（压缩映射原理）设是一个完备的度量空间，是一个压缩映射，则有一个唯一的不动点。进一步地，从任意一点出发，序列收敛于。证明首先证明最多只有一个不动点。然后说明序列收敛于一点。最后证明这个是不动点。
三、【泛函分析讲义-张恭庆】1.2完备化(课本内容讲解)
泛函分析讲义-张恭庆
在1.1节中，我们学习了如何定义一个距离空间，通过距离定义距离空间后，我们可以进一步讨论空间中的点列收敛性、闭集、基本列，进而引出“完备”空间的概念。完备空间要求所有基本列都收敛。紧接着，我们讨论了连续映射和压缩映射，引入了压缩映像原理，用于解决不动点问题。
本节重点讲解“完备化”的概念，即如何将不完备的空间转化为完备空间。完备的距离空间拥有更好的性质，而压缩映像原理中“空间完备”是必要条件。因此，我们探索将不完备空间通过某种方法转化为完备空间的可能性。
以有理数空间为例，我们知道实数空间由有理数和无理数构成。在有理数空间中讨论极限为无理数的数列时，数列虽为基本列但其极限不在有理数空间内，因此在有理数空间中不收敛。然而，当我们将无理数添加到有理数空间中，形成实数空间，该数列在实数空间内收敛。实数空间的完备性体现在所有基本列都收敛。
理解完备化，就是将不完备的空间通过扩充，将所有基本列的极限值都纳入空间中，填满空间中的“空隙”，使其成为完备空间的过程。
定义1.2.1：设两个度量空间[公式]与[公式]等距同构，表示存在映射[公式]满足条件：(1)满射；(2)等距同构，意味着度量空间性质相同。如果度量空间[公式]与子空间[公式]等距同构，则称[公式]嵌入[公式]。
有理数在实数空间中稠密，任何实数都可用有理数列逼近。定义1.2.2：集合[公式]在度量空间[公式]中稠密，表示对任意[公式]，存在[公式]使得[公式]。类比理解，如粥中香菜稠密，无论如何舀取总能找到香菜。
定义1.2.4：包含给定度量空间[公式]的最小完备度量空间称为[公式]的完备化空间。
命题1.2.5：如果[公式]是完备度量空间，[公式]是子空间且在[公式]中稠密，则[公式]是[公式]的完备化空间。
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